Вычислим следующий определенный интеграл используя формулу Ньютона - Лейбница:
\[\int\limits_{0}^{\pi/4}\sin^2 x\,dx.\]

Решение.

Из тригонометрии известно, что

\[\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}.\]

Следовательно,

\[\int\limits_{0}^{\pi/4}\sin^2 x\,dx = \int\limits_{0}^{\pi/4}\frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/4}(1 - \cos 2x)\,dx =
\\ = \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/4}\,dx - \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi/4}\cos 2x\,dx = \frac {1}{2} x\Bigr|_{0}^{\pi/4} - \frac{1}{2\cdot 2}\int\limits_{0}^{\pi/4}\cos 2x\,d(2x) =
\\ = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}(\sin(2\cdot\frac{\pi}{4}) - \sin(2\cdot 0)) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}(1 - 0) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}.\]